降雨径流的分布特征是什么？

2023年11月14日

最近一直在看降雨径流相关的文献，突然发现居然看似平平的水量平衡分析，愣是给跟概率分布扯到一起了，觉得有些新奇。但是文献太老，有些还语焉不详，无法得知其细节。于是，带着猎奇的心态，我根据文献的介绍，推演了一下其中的原委。

1 计算的原理和方法

假设一个地区的降雨量为 $P$ ，径流量为 $Q$ ，损失量为 $F$ ，那么根据水量平衡有

$P = Q + F$

由于 $P$ 、 $Q$ 、 $F$ 都为非负数，那么有 $0 \leq Q \leq P$ ， $0 \leq F \leq P$ 。另外假设 $F$ 的分布函数为

$G_{F} (x) = P (F \leq x)$

其概率密度函数为

$g_{F} (x) = \frac{d G_{F} (x)}{d x}$

那么对于 $Q$ 而言，其分布函数

$\begin{aligned} G_{Q} (x) & = P (Q \leq x) = P (P - F \leq x) = P (F \geq P - x) \\ = 1 - P (F \leq P - x) = 1 - G_{F} (P - x) \end{aligned}$

所以其概率密度函数为

$g_{Q} (x) = \frac{d G_{Q} (x)}{d x} = g_{F} (P - x)$

收益率悖论

2023年1月14日

1 基本原理

假设第 $i$ 期（ $i = 1, 2, \dots$ ）投入资金为 $x_{i}$ ，期末后总的资金为 $y_{i}$ ，那么第 $i$ 期的当期收益率为

$r_{i} = \frac{y_{i} - x_{i} - y_{i - 1}}{x_{i} + y_{i - 1}}$

连续投资 $n$ 期，总收益率 $R_{n}$ 为

$R_{n} = (1 + r_{1}) (1 + r_{2}) \dots (1 + r_{n}) - 1 = \prod_{i = 1}^{n} (1 + r_{i}) - 1$

连续投资 $n$ 期，如果假设每一期的收益率都是 $\bar{r}$ ，该收益率为投资 $n$ 期的平均收益率，满足如下关系

$R_{n} = \underset{n}{\underset{⏟}{(1 + \bar{r}) (1 + \bar{r}) \dots (1 + \bar{r})}} - 1 = (1 + \bar{r})^{n} - 1$

那么平均收益率 $\bar{r}$ 的计算公式为

$\bar{r} = \sqrt[n]{1 + R_{n}} - 1 = \sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{n} (1 + r_{i})} - 1$

等额本金与等额本息

2021年8月6日

1 等额本金

假设贷款额度为 $A$ ，贷款期为 $n$ ，每期利率为 $r$ ，如果采用等额本金的方式还贷，那么每期偿还的本金 $B$ 为定值，该值为

$B = \frac{A}{n}$

第1期偿还前的欠款 $E_{1} = A$ ，那么第1期的利息 $F_{1} = E_{1} r = A r$ ；第2期偿还前的欠款 $E_{2} = A - B$ ，那么第2期的利息 $F_{2} = E_{3} r = (A - B) r$ ；第3期偿还前的欠款 $E_{3} = A - 2 B$ ，那么第3期的利息 $F_{3} = E_{3} r = (A - 2 B) r$ ；……依次类推，第 $i$ 期偿还前的欠款 $E_{i}$ 和利息 $F_{i}$ 分别为：

$E_{i} = A - (i - 1) B = \frac{n - i + 1}{n} A$

和

$F_{i} = E_{i} r = \frac{n - i + 1}{n} A r$

那么，第 $i$ 期的还款额（本金加利息） $D_{i}$ 可以计算为：

$D_{i} = B + F_{i} = (\frac{1}{n} + \frac{n - i + 1}{n} r) A$