1 计算的原理和方法

假设一个地区的降雨量为\(P\)，径流量为\(Q\)，损失量为\(F\)，那么根据水量平衡有

\[ P=Q+F \]

由于\(P\)、\(Q\)、\(F\)都为非负数，那么有\(0\le Q\le P\)，\(0\le F\le P\)。另外假设\(F\)的分布函数为

\[\mathcal{G}_F(x)=\mathbb{P}(F\le x)\]

其概率密度函数为

\[ \mathcal{g}_F(x)=\dfrac{\text{d}\mathcal{G}_F(x)}{\text{d}x} \]

那么对于\(Q\)而言，其分布函数

\[ \begin{aligned} \mathcal{G}_Q(x)&=\mathbb{P}(Q\le x)=\mathbb{P}(P-F\le x)=\mathbb{P}(F\ge P-x)\\ &=1-\mathbb{P}(F\le P-x)=1-\mathcal{G}_F(P-x) \end{aligned} \]

所以其概率密度函数为

\[ \mathcal{g}_Q(x)=\dfrac{\text{d}\mathcal{G}_Q(x)}{\text{d}x}=\mathcal{g}_F(P-x) \]

1 基本原理

假设第\(i\)期（\(i=1,\,2,\,\cdots\)）投入资金为\(x_i\)，期末后总的资金为\(y_i\)，那么第\(i\)期的当期收益率为

\[ r_i=\dfrac{y_i-x_i-y_{i-1}}{x_i+y_{i-1}} \]

连续投资\(n\)期，总收益率\(R_n\)为

\[ R_n=(1+r_1)(1+r_2)\cdots(1+r_n)-1=\prod_{i=1}^n(1+r_i)-1 \]

连续投资\(n\)期，如果假设每一期的收益率都是\(\bar{r}\)，该收益率为投资\(n\)期的平均收益率，满足如下关系

\[ R_n=\underset{n}{\underbrace{(1+\bar{r})(1+\bar{r})\cdots(1+\bar{r})}}-1=(1+\bar{r})^n-1 \]

那么平均收益率\(\bar{r}\)的计算公式为

\[ \bar{r}=\sqrt[n]{1+R_n}-1=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n(1+r_i)}-1 \]

1 等额本金

假设贷款额度为\(A\)，贷款期为\(n\)，每期利率为\(r\)，如果采用等额本金的方式还贷，那么每期偿还的本金\(B\)为定值，该值为

\[ B=\dfrac{A}{n} \]

第1期偿还前的欠款\(E_1=A\)，那么第1期的利息\(F_1=E_1r=Ar\)；第2期偿还前的欠款\(E_2=A-B\)，那么第2期的利息\(F_2=E_3r=(A-B)r\)；第3期偿还前的欠款\(E_3=A-2B\)，那么第3期的利息\(F_3=E_3r=(A-2B)r\)；……依次类推，第\(i\)期偿还前的欠款\(E_i\)和利息\(F_i\)分别为：

\[ E_i=A-(i-1)B=\dfrac{n-i+1}{n}A \]

和

\[ F_i=E_ir=\dfrac{n-i+1}{n}Ar \]

那么，第\(i\)期的还款额（本金加利息）\(D_i\)可以计算为：

\[ D_i=B+F_i=(\dfrac{1}{n}+\dfrac{n-i+1}{n}r)A \]