关于投资理财，有一个比较有意思的小问题，就是比如昨天赚了5%，今天亏了5%，那么总体是赚了？还是亏了？还是持平呢？换一种问法：昨天亏了5%，今天赚了5%，那结果又如何呢？这个问题的答案其实就是要算两天累计的收益率，其实很简单，就是\((1+5\%)(1-5\%)-1=-0.25\%\)。由于乘法符合交换律，所以无论是先亏后赚，还是先赚后亏，其结果都是一样的，那就是总体是亏损的。那么，如果说亏了5%，要赚多少才能回本呢？这里假设第一天收益率是\(r_1\)，第二天的收益率是\(r_2\)，那么两天总的收益率为
\[ r=(1+r_1)(1+r_2)-1 \]
如果总体不亏不赢，那么\(r=0\)，也就是说
\[ r_2=-\dfrac{r_1}{1+r_1} \]
当\(r_1=-5\%\)时，\(r_2=-(-5\%)/(1-5\%)=5.26\%\)，也就是说得要多赚0.26%才能赢回亏损。
这里一直涉及到一个概念，就是“累计收益率”。一般来说，累计收益率\(r\)满足如下公式：
\[ r=\prod_{i=1}^n(1+r_i)-1 \]
在计算个人所得税的时候，往往会涉及到一个概念，叫做“速算扣除数”。大家知道，我们的税率是分段计算的，从函数的角度来看，就是一个分段函数，那么我们直接通过分段函数的性质就可以算税了，为啥要提出一个“速算扣除数”来呢？又或者说所谓的“速算”又体现在什么地方呢？
为了弄明白这个问题，我们先了解一下目前个税的相关规定。首先，个税是按月缴纳的，这个就跟工资按月发放一样。其次，个税有一个起征点，目前就是5000元。再次，个税的应纳税所得额是当月收入（工资加上一些其他收入）在扣除五险一金扣缴的那部分以及养老、子女教育等附加的基础上超出起征点的那一部分。最后，个税采用的是按年累计计税的方式进行计算的，当累积的应纳税金额不超过36000元时，按3%来计税；超出36000元部分但不足144000元的，按10%来计税；超出144000元部分但不足300000元的，按20%来计税；超出300000元部分但不足420000元的，按25%来计税；超出420000元部分但不足660000元的，按30%来计税；超出660000元部分但不足960000元的，按35%来计税；超出960000元部分的，按45%来计税。
假设每个月的应纳税所得额分别是\(x_1,x_2,\cdots,x_{12}\)，那么每个月累计的应纳税金额分别是\(x_1,x_1+x_2,\cdots,\sum_{i=1}^kx_i,\cdots,\sum_{i=1}^{12}x_i\)，则第\(k\)月所采用的税率等级为
\[ r_{k}=\begin{cases} 0.03, & 0<\sum_{i=1}^{k}x_{i}\le36000\\ 0.10, & 36000<\sum_{i=1}^{k}x_{i}\le144000\\ 0.20, & 144000<\sum_{i=1}^{k}x_{i}\le300000\\ 0.25, & 300000<\sum_{i=1}^{k}x_{i}\le420000\\ 0.30, & 420000<\sum_{i=1}^{k}x_{i}\le660000\\ 0.35, & 660000<\sum_{i=1}^{k}x_{i}\le96000\\ 0.45, & 960000<\sum_{i=1}^{k}x_{i}\le+\infty \end{cases} \]
一般地，上式可以写成
\[ r_k=r(\sum_{i=1}^{k}x_{i})=\sum_l[\gamma_l\cdot I(a_{l-1}<\sum_{i=1}^{k}x_{i}\le a_l)] \]
假设一次性可以领取的金额为\(A\)，分月领取的金额为\(B\)，领取的时间为\(t\)年，银行的年利率为\(r\)，首先根据复利公式可以计算出月利率\(r_0\)满足如下公式：
\[ 1+r=(1+r_0)^{12} \] 也就是说
\[ r_0=\sqrt[12]{1+r}-1 \]
在此基础上，不难得知，如果将钱一次性取出并存入银行，\(t\)年后总的收益（本息和）为
\[ X=A(1+r)^t=A(1+r_0)^{12t} \]
另外，如果每个月取出B并存入银行，那么第1个月取出的钱到\(t\)年后的总的收益是\(B(1+r_0)^{12t}\)，第2个月取出的钱到\(t\)年后的总的收益是\(B(1+r_0)^{12t-1}\)，……，最后一个月取出的钱到\(t\)年后的总的收益是\(B(1+r_0)\)，那么所有月份形成的总的收益为
\[ Y=B(1+r_0)^{12t}+B(1+r_0)^{12t-1}+\cdots+B(1+r_0)=\sum_{i=1}^{12t}[B(1+r_0)^i] \]