1 Gini系数

Gini系数是研究不公平性(或者说公平性)的一个重要指标。它的计算可以通过Lorenz曲线来实现。假如我们研究一个群体内部收入分配的公平性问题，那么首先可以刻画这个群体内部收入分配的Lorenz曲线，具体方式如下：假设这个群体内部共有\(n\)个人，每个人的收入分别为\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，然后我们可以对这\(n\)个人的收入按照从小到大的顺序进行排序，得到\(x_１^\prime,x_2^\prime,\cdots,x_n^\prime\)，这时我们可以构造一组坐标\((h/n,L_h/L_n)\)，这里\(h=0,1,\cdots,n\)，\(L_0=0\)，\(L_h=\sum_{i=0}^hx_i^\prime\)。我们将这些坐标点绘制在平面直角坐标系中并依次相连，所得到的曲线就是Lorenz曲线。为了说明这一过程，假设\(n=10\)，具体的收入状况如下表所示：

绘制的Lorenz曲线如下：

上图中红色部分的面积占整个下三角区域面积的比例即为Gini系数。为了计算这个Gini系数，我们对Lorenz曲线上每个点向下引一条垂线，这样就可以将Lorenz曲线与x轴围城的区域划分成很多个梯形区域(其中第一个区域为三角形区域)，那么我们就能够对这些区域的面积进行计算。假设Lorenz曲线上的任意一点为\((X_i,Y_i)\)(这里\(i=0,1,\cdots,n\)，\(X_0=0\)，\(Y_0=0\))，那么该点与前一个点形成的梯形区域的面积为\((X_i-X_{i-1})(Y_i+Y_{i-1})/2\)，整个面积为\(\sum_{i=1}^n(X_i-X_{i-1})(Y_i+Y_{i-1})/2\)。显然下三角区域的面积为\(1/2\)，那么Gini系数的计算公式如下：

\[\text{Gini}=1-\sum_{i=1}^n(X_i-X_{i-1})(Y_i+Y_{i-1})\]

对于以上算例，根据公式计算出来的Gini系数的结果为\(0.2711\)。

2 对Lorenz曲线的认识

Lorenz曲线到底是怎样一种曲线？从前面的分析中我们知道，只要我们给出一列数据(如\(x_1,x_2,\cdots,x_n\))，我们就能生成一批Lorenz曲线上的坐标点\((X_i,Y_i)\)(这里\(i=0,1,\cdots,n\))。可见，Lorenz曲线上的坐标点与原始数据存在着一定的函数关系，假设这种函数关系为\((F(x),L(x))\)，对于系列中任意一个数据\(x_i\)，其对应的Lorenz曲线上的坐标为\((F(x_i),L(x_i))\)。那么，\(F(x)\)和\(L(x)\)分别代表什么呢？事实上，\(F(x)\)是\(x\)的累积经验分布函数。在前面的算例中，其形式如下：

而\(L(x)\)则为将\(x\)进行从小到大排序后依次累积加所得到的值，其形式如下：

这样，我们将对应点上的坐标提取出来就可以得到这样一个三元组\((x,F(x),L(x))\)。同样，原则上我们也可以得到任意一个\(x\)所对应的Lorenz曲线上的点\((F(x),L(x))\)，比如\(x\)的期望值\(\mu\)对应的Lorenz曲线上的点为\((F(\mu),L(\mu))\)。

事实上，\(F(x)\)和\(L(x)\)存在一定的联系，这种联系可以用以下表达式来说明：

\[\begin{cases} F(x)=\int_{0}^{x}\text{d}F(t)\\ L(x)=\int_{0}^{x}t\text{d}F(t)/\int_{0}^{+\infty}t\text{d}F(t) \end{cases}\]

这里\(F(0)=0\)。\(L(x)\)实际上就是不大于\(x\)那部分数据加权和占所有数据加权和的比例，其中\(\text{d}F(x)\)就是权重。

3 加权Gini系数

在实际情况中，我们往往只知道一个团体总的收入状况和团体的人口数，而不知道团体内部每个人的收入状况。在我们分析所有团体的收入分配公平性问题时，一个十分必要的假设就是在每个团体内部收入分配是完全公平的(即按人口平均分配)。为了说明加权Gini系数的计算过程，同样我们也可以假设以下数据：

按照Gini系数的定义，我们首先还是得刻画Lorenz曲线，即确定函数\(F(x)\)和\(L(x)\)。需要明确的是\(x\)的含义，我们的任务不是分析不同团体总收入的分配公平性问题，而是不同团体中每个人的收入的分配公平性问题，那么\(x\)表示的不是团体总收入，而是团体的人均收入。假设第\(i\)个团体总收入为\(z_i\)，其人口数为\(w_i\)，那么人均收入\(x_i=z_i/w_i\)。为了计算\(F(x)\)，我们先对\(x_i\)按照从小到大的顺序进行排序，得到\(x_１^\prime,x_2^\prime,\cdots,x_n^\prime\)，并且令\(x_0^\prime=0\)，\(F(x_0^\prime)=0\)和\(L(x_0^\prime)=0\)。这样同时可以得到\(z_i\)和\(w_i\)的排序值\(z_i^\prime\)和\(w_i^\prime\)。那么，我们很容易得到

\[\begin{cases} F(x_{h}^{\prime}) & =\sum_{i=0}^{h}w_{i}^{\prime}/\sum_{i=0}^{n}w_{i}^{\prime}\\ L(x_{h}^{\prime}) & =\sum_{i=0}^{h}w_{i}^{\prime}x_{i}^{\prime}/\sum_{i=0}^{n}w_{i}^{\prime}x_{i}^{\prime}\\ & =\sum_{i=0}^{h}z_{i}^{\prime}/\sum_{i=0}^{n}z_{i}^{\prime} \end{cases}\]

这里\(h=0,1,\cdots,n\)。这时绘制出来的Lorenz曲线如下所示：

计算出来的Gini系数的结果为\(0.43\)。