1 基本原理

假设一次性可以领取的金额为\(A\)，分月领取的金额为\(B\)，领取的时间为\(t\)年，银行的年利率为\(r\)，首先根据复利公式可以计算出月利率\(r_0\)满足如下公式：

\[ 1+r=(1+r_0)^{12} \] 也就是说

\[ r_0=\sqrt[12]{1+r}-1 \]

在此基础上，不难得知，如果将钱一次性取出并存入银行，\(t\)年后总的收益（本息和）为

\[ X=A(1+r)^t=A(1+r_0)^{12t} \]

另外，如果每个月取出B并存入银行，那么第1个月取出的钱到\(t\)年后的总的收益是\(B(1+r_0)^{12t}\)，第2个月取出的钱到\(t\)年后的总的收益是\(B(1+r_0)^{12t-1}\)，……，最后一个月取出的钱到\(t\)年后的总的收益是\(B(1+r_0)\)，那么所有月份形成的总的收益为

\[ Y=B(1+r_0)^{12t}+B(1+r_0)^{12t-1}+\cdots+B(1+r_0)=\sum_{i=1}^{12t}[B(1+r_0)^i] \]

上式是首项为\(a_1=B(1+r_0)\)，项数为\(n=12t\)，公比为\(q=1+r_0\)的等比数列，其求和公式为

\[ S_n=a_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q} \] 那么，\(Y\)的结果为

\[ Y=B(1+r_0)\cdot\dfrac{1-(1+r_0)^{12t}}{1-(1+r_0)}=B(1+r_0)\cdot\dfrac{(1+r_0)^{12t}-1}{r_0} \]

假设\(t\)年总的收益率为\(R\)，那么有

\[ 1+R=(1+r)^t=(1+r_0)^{12t} \]

在给定\(t\)的条件下

\[ R=(1+r)^t-1=(1+r_0)^{12t}-1 \]

代入到\(X\)和\(Y\)的计算公式中，分别为

\[ X=A(1+R) \]

和

\[ Y=B(1+r_0)\cdot\dfrac{R}{r_0} \] 那么，有如下三种情况：

（1）当\(X<Y\)时，

\[ A(1+R)<B(1+r_0)\cdot\dfrac{R}{r_0} \]

（2）当\(X>Y\)时，

\[ A(1+R)>B(1+r_0)\cdot\dfrac{R}{r_0} \]

（3）当\(X=Y\)时，

\[ A(1+R)=B(1+r_0)\cdot\dfrac{R}{r_0} \]

可以计算出当\(X=Y\)时的累积收益率为

\[ R=\dfrac{Ar_0}{B(1+r_0)-Ar_0} \]

如果假设\(\alpha=A/B\)，那么上式可以写为

\[ R=\dfrac{\alpha r_0}{(1+r_0)-\alpha r_0} \]

考虑到\(r_0>0\)且\(R>0\)及\(\alpha>0\)，那么有

\[ 0<\alpha<\dfrac{1}{r_0}+1 \] 或者

\[ 0<r_0<\dfrac{1}{\alpha-1} \]

当计算完累积收益率后，则可以计算二者相等时的年限，根据\(1+R=(1+r)^t\)，两边同时取对数（任意底数）

\[ \log(1+R)=\log[(1+r)^t]=t\log(1+r) \]

那么二者相等时收益年限为

\[ t=\dfrac{\log(1+R)}{\log(1+r)}=\dfrac{\log(1+R)}{12\log(1+r_0)} \]

2 算例演示

假设一次性可以领取的金额为\(A=10000\)，分月领取的金额为\(B=100\)，银行的年化利率为\(r=0.03\)，那么

当\(\alpha=100\)时，银行年利率\(r\)与\(X=Y\)时收益年限\(t\)之间的关系为

当银行年利率\(r=0.03\)时，\(\alpha\)与\(X=Y\)时收益年限\(t\)之间的关系为