什么是速算扣除数？
在计算个人所得税的时候，往往会涉及到一个概念，叫做“速算扣除数”。大家知道，我们的税率是分段计算的，从函数的角度来看，就是一个分段函数，那么我们直接通过分段函数的性质就可以算税了，为啥要提出一个“速算扣除数”来呢？又或者说所谓的“速算”又体现在什么地方呢？
为了弄明白这个问题，我们先了解一下目前个税的相关规定。首先，个税是按月缴纳的，这个就跟工资按月发放一样。其次，个税有一个起征点，目前就是5000元。再次，个税的应纳税所得额是当月收入（工资加上一些其他收入）在扣除五险一金扣缴的那部分以及养老、子女教育等附加的基础上超出起征点的那一部分。最后，个税采用的是按年累计计税的方式进行计算的，当累积的应纳税金额不超过36000元时，按3%来计税；超出36000元部分但不足144000元的，按10%来计税；超出144000元部分但不足300000元的，按20%来计税；超出300000元部分但不足420000元的，按25%来计税；超出420000元部分但不足660000元的，按30%来计税；超出660000元部分但不足960000元的，按35%来计税；超出960000元部分的，按45%来计税。
假设每个月的应纳税所得额分别是\(x_1,x_2,\cdots,x_{12}\)，那么每个月累计的应纳税金额分别是\(x_1,x_1+x_2,\cdots,\sum_{i=1}^kx_i,\cdots,\sum_{i=1}^{12}x_i\)，则第\(k\)月所采用的税率等级为
\[ r_{k}=\begin{cases} 0.03, & 0<\sum_{i=1}^{k}x_{i}\le36000\\ 0.10, & 36000<\sum_{i=1}^{k}x_{i}\le144000\\ 0.20, & 144000<\sum_{i=1}^{k}x_{i}\le300000\\ 0.25, & 300000<\sum_{i=1}^{k}x_{i}\le420000\\ 0.30, & 420000<\sum_{i=1}^{k}x_{i}\le660000\\ 0.35, & 660000<\sum_{i=1}^{k}x_{i}\le96000\\ 0.45, & 960000<\sum_{i=1}^{k}x_{i}\le+\infty \end{cases} \]
一般地，上式可以写成
\[ r_k=r(\sum_{i=1}^{k}x_{i})=\sum_l[\gamma_l\cdot I(a_{l-1}<\sum_{i=1}^{k}x_{i}\le a_l)] \]
这里，\(\gamma_l\)为第\(l\)级的税率，\(I(x)\)为示性函数，即
\[ I(x)=\begin{cases} 1, & x\text{为真}\\ 0, & x\text{为假} \end{cases} \]
税率的阶梯函数图如下：
另外，假设\(a_{m-1}<\sum_{i=1}^{k}x_{i}\le a_m\)，那么累计应纳税额的计算公式为
\[ \begin{align*} \sigma_{k} & =\sigma(\sum_{i=1}^{k}x_{i})=\int_{0}^{\sum_{i=1}^{k}x_{i}}r_{k}\text{d}t\\ & =\int_{0}^{a_{1}}r_{k}\text{d}t+\int_{a_{1}}^{a_{2}}r_{k}\text{d}t+\cdots+\int_{a_{m-1}}^{\sum_{i=1}^{k}x_{i}}r_{k}\text{d}t\\ & =\gamma_{1}a_{1}+\gamma_{2}(a_{2}-a_{1})+\cdots+\gamma_{m}(\sum_{i=1}^{k}x_{i}-a_{m-1})\\ & =\gamma_{m}\sum_{i=1}^{k}x_{i}-a_{m-1}(\gamma_{m}-\gamma_{m-1})-\cdots-a_{1}(\gamma_{2}-\gamma_{1}) \end{align*} \]
上式中\(a_{1}(\gamma_{2}-\gamma_{1})\)一直到\(a_{m-1}(\gamma_{m}-\gamma_{m-1})\)都是常数，如果记\(b_1=0\)，\(b_2=a_{1}(\gamma_{2}-\gamma_{1})+b_1=a_{1}(\gamma_{2}-\gamma_{1})\)，\(b_3=a_{2}(\gamma_{3}-\gamma_{2})+b_2=a_{2}(\gamma_{3}-\gamma_{2})+a_{1}(\gamma_{2}-\gamma_{1})\)，那么依次类推有如下递推公式
\[ b_m=a_{m-1}(\gamma_{m}-\gamma_{m-1})+b_{m-1} \]
这里的\(b_m\)就是速算扣除数。那么很容易验证，第1级速算扣除数为0，第2级速算扣除数为\(b_2=a_{1}(\gamma_{2}-\gamma_{1})+b_1=36000\times(0.1-0.03)+0=2520\)，第3级速算扣除数为\(b_3=a_{2}(\gamma_{3}-\gamma_{2})+b_2=144000\times(0.2-0.1)+2520=16920\)，依次类推，具体如下：
| 等级 | 速算扣除数（元） |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 2 | 2520 |
| 3 | 16920 |
| 4 | 31920 |
| 5 | 52920 |
| 6 | 85920 |
| 7 | 181920 |
在速算扣除数的帮助下，\(\sigma_k\)可以写为
\[ \sigma_k=\gamma_{m}\sum_{i=1}^{k}x_{i}-b_m \]
那么，累计应纳税额的函数图如下：
假设每个月应纳税额分别是\(y_1,y_2,\cdots,y_{12}\)，那么有
\[ y_k=\sigma_k-\sigma_{k-1}=\sigma(\sum_{i=1}^{k}x_{i})-\sigma(\sum_{i=1}^{k-1}x_{i}) \]
假如每个月的应纳税所得额均为20000元，那么第1个月的应纳税额为\(20000\times 0.03=600\)，第2个月的应纳税额为\(20000\times 2\times 0.1-2520-600=880\)，第3个月的应纳税额为\(20000\times 3\times 0.1-2520-600-880=2000\)，依次类推，具体如下：
| 月份 | 应纳税额（元） |
|---|---|
| 1 | 600 |
| 2 | 880 |
| 3 | 2000 |
| 4 | 2000 |
| 5 | 2000 |
| 6 | 2000 |
| 7 | 2000 |
| 8 | 3600 |
| 9 | 4000 |
| 10 | 4000 |
| 11 | 4000 |
| 12 | 4000 |
对应的算法如下图所示：
