1 等额本金

假设贷款额度为\(A\)，贷款期为\(n\)，每期利率为\(r\)，如果采用等额本金的方式还贷，那么每期偿还的本金\(B\)为定值，该值为

\[ B=\dfrac{A}{n} \]

第1期偿还前的欠款\(E_1=A\)，那么第1期的利息\(F_1=E_1r=Ar\)；第2期偿还前的欠款\(E_2=A-B\)，那么第2期的利息\(F_2=E_3r=(A-B)r\)；第3期偿还前的欠款\(E_3=A-2B\)，那么第3期的利息\(F_3=E_3r=(A-2B)r\)；……依次类推，第\(i\)期偿还前的欠款\(E_i\)和利息\(F_i\)分别为：

\[ E_i=A-(i-1)B=\dfrac{n-i+1}{n}A \]

和

\[ F_i=E_ir=\dfrac{n-i+1}{n}Ar \]

那么，第\(i\)期的还款额（本金加利息）\(D_i\)可以计算为：

\[ D_i=B+F_i=(\dfrac{1}{n}+\dfrac{n-i+1}{n}r)A \]

偿还的利息总和\(F_\Sigma\)为

\[ F_\Sigma=\sum_{i=1}^nF_i=\left[\dfrac{n+1}{2}r\right]A \]

2 等额本息

假设贷款额度为\(A\)，贷款期为\(n\)，每期利率为\(r\)，如果采用等额本金的方式还贷，那么每期偿还的本息和\(D\)为定值，在此条件下，第1期偿还前的欠款\(E_1=A\)，第2期偿还前的欠款\(E_2=E_1(1+r)-D=A(1+r)-D\)，第3期偿还前的欠款\(E_3=E_2(1+r)-D=A(1+r)^2-D(1+r)-D\)，……依次类推，第\(i\)期偿还前的欠款

\[ \begin{align*} E_{i} & =E_{i-1}(1+r)-D\\ & =A(1+r)^{i-1}-D(1+r)^{i-2}-\cdots-D\\ & =A(1+r)^{i-1}-\sum_{k=1}^{i-1}[D(1+r)^{k-1}]\\ & =A(1+r)^{i-1}-D\dfrac{(1+r)^{i-1}-1}{r} \end{align*} \]

理论上，如果存在第\(n+1\)期，那么第\(n+1\)期偿还前的欠款\(E_{n+1}=0\)，即满足如下条件

\[ A(1+r)^{n}-D\dfrac{(1+r)^{n}-1}{r}=0 \]

因此，有

\[ D=A\dfrac{r(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1} \]

在此基础上可以计算出每期支付的利息：第1期的利息\(F_1=E_1r=Ar\)；第2期的利息\(F_2=E_2r=[A(1+r)-D]r\)，第3期的利息\(F_3=E_3r=[A(1+r)^2-D(1+r)-D]r\)，……依次类推，第\(i\)期的利息

\[ F_{i}=E_{i}r=Ar(1+r)^{i-1}-D[(1+r)^{i-1}-1] \]

第\(i\)期偿还的本金为

\[ B_i=D-F_i=(D-Ar)(1+r)^{i-1} \]

偿还的利息总和\(F_\Sigma\)为

\[ \begin{align*} F_\Sigma & =\sum_{i=1}^nF_i\\ & =\sum_{i=1}^n\left\{Ar(1+r)^{i-1}-D[(1+r)^{i-1}-1]\right\}\\ & =Ar\dfrac{(1+r)^{n}-1}{r}-D\left[\dfrac{(1+r)^{n}-1}{r}-n\right]\\ & =A[(1+r)^{n}-1]-A(1+r)^{n}+nD\\ & =nD-A\\ & =\left[\dfrac{nr(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1}-1\right]A \end{align*} \]

3 简单算例

假设贷款120万元，贷款年限为20年，贷款年利率为5%，贷款按月还，那么贷款期\(n=20\times12=240\)，月利率\(r=\sqrt[12]{1+5\%}-1=0.407\%\)，如果按照等额本金还款，那每个月偿还本金为0.5万元，总共偿还利息58.91万元；如果按照等额本息还款，那每个月偿还本息和为0.78万元，总共偿还利息68.3万元。具体还款计划如下图所示：

4 小结

在针对\(B_i\)（本金）、\(F_i\)（利息）、\(D_i\)（本息和）、\(E_i\)（上期欠款）分析的时候，需要把握住以下几个显而易见的条件（类似于欧式几何中的公理）：

• 本息和的计算公式

\[ D_i=B_i+F_i \]

• 利息的计算公式

\[ F_i=E_ir_i \]

• 本金还款的递推公式

\[ E_{i+1}=E_i-B_i \]

• 还款期公式

\[ E_{n+1}=0 \]

以上4个公式是等额本金和等额本息推导的基础。假设利率为固定值\(r_i=r\)，贷款金额\(E_1=A\)，对于等额本金而言，\(B_i=B\)为定值，那么有

\[ E_{i+1}=E_1-\sum_{k=1}^{i}B_k=E_1-iB \]

另外，根据\(E_{n+1}=0\)，可以得到

\[ B=\dfrac{E_1}{n}=\dfrac{A}{n} \]

对于等额本息而言，\(D_i=D\)为定值，那么有

\[ \begin{align*} E_{i+1} & =(1+r_i)E_i-D_i\\ & =(1+r)E_i-D\\ & =(1+r)^iE_1-\sum_{k=1}^{i}[D(1+r)^{k-1}]\\ & =A(1+r)^i-D\dfrac{(1+r)^i-1}{r} \end{align*} \]

同样，根据\(E_{n+1}=0\)，可以得到

\[ D=A\dfrac{r(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1} \]

由此可见，只需要根据4个基本公式，在一定的假设条件下，我们就可以推导出后续的结果。