1 基本原理

假设第\(i\)期（\(i=1,\,2,\,\cdots\)）投入资金为\(x_i\)，期末后总的资金为\(y_i\)，那么第\(i\)期的当期收益率为

\[ r_i=\dfrac{y_i-x_i-y_{i-1}}{x_i+y_{i-1}} \]

连续投资\(n\)期，总收益率\(R_n\)为

\[ R_n=(1+r_1)(1+r_2)\cdots(1+r_n)-1=\prod_{i=1}^n(1+r_i)-1 \]

连续投资\(n\)期，如果假设每一期的收益率都是\(\bar{r}\)，该收益率为投资\(n\)期的平均收益率，满足如下关系

\[ R_n=\underset{n}{\underbrace{(1+\bar{r})(1+\bar{r})\cdots(1+\bar{r})}}-1=(1+\bar{r})^n-1 \]

那么平均收益率\(\bar{r}\)的计算公式为

\[ \bar{r}=\sqrt[n]{1+R_n}-1=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n(1+r_i)}-1 \]

对于第\(i\)期的投入资金\(x_i\)，如果折现到第\(1\)期，相当于在第\(1\)期投资的金额\(\tilde{x}_i\)为

\[ \tilde{x}_i=\dfrac{x_i}{1+R_{i-1}}=\dfrac{x_i}{\prod_{k=1}^i(1+r_{k-1})} \]

这里\(\tilde{x}_1=x_1\)，即\(R_0=r_0=0\)。根据\(r_i\)的计算公式，可以得知

\[ \begin{aligned} y_i&=(1+r_i)x_i+(1+r_i)y_{i-1}\\ &=(1+r_i)x_i+(1+r_i)[(1+r_{i-1})x_{i-1}+(1+r_{i-1})y_{i-2}]\\ &=(1+r_i)x_i+(1+r_i)(1+r_{i-1})x_{i-1}+\cdots+(1+r_i)\cdots(1+r_1)x_1\\ &=(1+r_i)\cdots(1+r_1)\cdot\\ &\qquad\left[\dfrac{x_i}{(1+r_{i-1})\cdots(1+r_1)}+\dfrac{x_{i-1}}{(1+r_{i-2})\cdots(1+r_1)}+\cdots+x_1\right]\\ &=(1+R_i)\sum_{k=1}^i\tilde{x}_k \end{aligned} \]

当\(i=n\)时

\[ R_n=\dfrac{y_n-\sum_{k=1}^n\tilde{x}_k}{\sum_{k=1}^n\tilde{x}_k} \]

由此可知，对于\(n\)期连续投资\(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n\)，其总收益率就是把这\(n\)期投资看成一个整体，把不同时期的投资折现到第\(1\)期，即\(\tilde{x}_1,\,\tilde{x}_2,\,\cdots,\,\tilde{x}_n\)，然后以此总规模\(\sum_{k=1}^n\tilde{x}_k\)投资，并最终资金为\(y_n\)时的收益率，该收益率与通过每一期收益率计算出来的总收益率是一致的。

2 一个例子

假设小明参与了一个投资，第一年投了1万元，年末账上资金为1.5万元，第二年又追投了1万元，年末账上资金为2万元，第三年又追投了1万元，年末账上资金为2.7万元，那么请问这3年的累积收益率是多少？

第一种算法：根据当期收益率来计算

第一年的当期收益率\(r_1\)为

\[ r_1=\dfrac{1.5-1}{1}\times 100\%=50\% \]

第二年的当期收益率\(r_2\)为

\[ r_2=\dfrac{2-(1.5+1)}{1.5+1}\times 100\%=-20\% \]

第三年的当期收益率\(r_3\)为

\[ r_3=\dfrac{2.7-(2+1)}{2+1}\times 100\%=-10\% \]

所以，3期总收益率为

\[ R_3=(1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)-1=(1+0.5)(1-0.2)(1-0.1)-1=8\% \]

从以上结果上看似乎有些反直观，小明总共是投了3万元，但最后账户上只剩下了2.7万元，直观上看是亏损了0.3万元，但是算出来的总收益率却是正的，表明投资是盈利了。这种矛盾如何解释？且看第二种算法。

第二种算法：根据贴现率来计算

第一年投资的贴现值\(\tilde{x}_1\)为

\[ \tilde{x}_1=x_1=1 \]

第二年投资的贴现值\(\tilde{x}_2\)为

\[ \tilde{x}_2=\dfrac{x_2}{1+r_1}=\dfrac{1}{1+0.5}=0.667 \]

第三年投资的贴现值\(\tilde{x}_3\)为

\[ \tilde{x}_3=\dfrac{x_3}{(1+r_1)(1+r_2)}=\dfrac{1}{(1+0.5)(1-0.2)}=0.833 \]

所以，按照贴现值来算，3期总投资为

\[ \tilde{x}_1+\tilde{x}_2+\tilde{x}_3=1+0.667+0.833=2.5 \]

那么3期总收益率为

\[ R_3=\dfrac{y_3-(\tilde{x}_1+\tilde{x}_2+\tilde{x}_3)}{\tilde{x}_1+\tilde{x}_2+\tilde{x}_3}=\dfrac{2.7-2.5}{2.5}=8\% \]

也就是说，按照贴现率来计算，小明的总投资是2.5万元（贴现到第1期），而不是表观上看到的3万元（考虑到不同时间上的投资同样的资金价值不同，因此不同时间上的投资不能直接进行加和），而到第3期期末账上的资金为2.7万元，那么总收益率就是正的。由此可见，总收益率是考虑了时间的价值后得到的结果，而不是按照如下方式计算的结果

\[ R_3\ne\dfrac{y_3-(x_1+x_2+x_3)}{x_1+x_2+x_3}=\dfrac{2.7-3}{3}=-10\% \]