1 计算的原理和方法

假设一个地区的降雨量为\(P\)，径流量为\(Q\)，损失量为\(F\)，那么根据水量平衡有

\[ P=Q+F \]

由于\(P\)、\(Q\)、\(F\)都为非负数，那么有\(0\le Q\le P\)，\(0\le F\le P\)。另外假设\(F\)的分布函数为

\[\mathcal{G}_F(x)=\mathbb{P}(F\le x)\]

其概率密度函数为

\[ \mathcal{g}_F(x)=\dfrac{\text{d}\mathcal{G}_F(x)}{\text{d}x} \]

那么对于\(Q\)而言，其分布函数

\[ \begin{aligned} \mathcal{G}_Q(x)&=\mathbb{P}(Q\le x)=\mathbb{P}(P-F\le x)=\mathbb{P}(F\ge P-x)\\ &=1-\mathbb{P}(F\le P-x)=1-\mathcal{G}_F(P-x) \end{aligned} \]

所以其概率密度函数为

\[ \mathcal{g}_Q(x)=\dfrac{\text{d}\mathcal{G}_Q(x)}{\text{d}x}=\mathcal{g}_F(P-x) \]

那么\(Q\)的期望值

\[ \bar{Q}=\int_0^Px\mathcal{g}_Q(x)\text{d}x=\int_0^Px\mathcal{g}_F(P-x)\text{d}x \]

令\(y=P-x\)，那么有

\[ \bar{Q}=\int_P^0(P-y)\mathcal{g}_F(y)\text{d}(P-y)=\int_0^P(P-y)\mathcal{g}_F(y)\text{d}y \]

进而可以计算

\[ \begin{aligned} \dfrac{\text{d}\bar{Q}}{\text{d}P}&=\dfrac{\text{d}}{\text{d}P}\int_0^P(P-y)\mathcal{g}_F(y)\text{d}y\\ &=\dfrac{\text{d}}{\text{d}P}\int_0^PP\mathcal{g}_F(y)\text{d}y-\dfrac{\text{d}}{\text{d}P}\int_0^Py\mathcal{g}_F(y)\text{d}y\\ &=\dfrac{\text{d}}{\text{d}P}[P\mathcal{G}_F(P)]-P\mathcal{g}_F(P)\\ &=\mathcal{G}_F(P) \end{aligned} \]

根据概率密度的定义可以得到

\[ \dfrac{\text{d}^2\bar{Q}}{\text{d}P^2}=\dfrac{\text{d}\mathcal{G}_F(P)}{\text{d}P}=\mathcal{g}_F(P) \]

2 基于SCS-CN曲线的分析

SCS-CN方法的核心假设是存在一个土壤储水量\(S\)，使得

\[ \dfrac{Q}{P}=\dfrac{F}{S} \]

进而可以得到

\[ Q=\dfrac{P^2}{P+S} \]

这里，\(P\)其实是有效降雨量\(P_e\)。当\(P\)为真实降雨量时，需要考虑到初损值\(I_a\)，满足

\[ P=P_e+I_a \]

即

\[ Q=\dfrac{(P-I_a)^2}{P-I_a+S} \]

当\(I_a=\lambda S\)且\(\lambda=0.2\)时

\[ Q=\dfrac{(P-0.2S)^2}{P+0.8S} \]

如果假设\(S=1\)，那么可以做出\(Q\)对\(P\)的曲线图

令\(Q^*=Q/S\)、\(P^*=P/S\)、\(F^*=F/S\)，那么可以对\(P\)、\(Q\)、\(F\)进行无量纲化，得到

\[ Q^*=\dfrac{(P^*-0.2)^2}{P^*+0.8} \]

那么有

\[ \dfrac{\text{d}Q}{\text{d}P}=\dfrac{\text{d}Q^*}{\text{d}P^*}=1-(P^*+0.8)^{-2}=1-(P/S+0.8)^{-2} \]

即

\[ \mathcal{G}_F(x)=1-(x/S+0.8)^{-2} \]

当\(S=1\)时，分布函数\(\mathcal{G}_F(x)\)的曲线形式如下

另外，有

\[ \dfrac{\text{d}^2Q}{\text{d}P^2}=2S^{-1}(P/S+0.8)^{-3} \]

即

\[ \mathcal{g}_F(x)=2S^{-1}(x/S+0.8)^{-3} \]

当\(S=1\)时，概率密度函数\(\mathcal{g}_F(x)\)的曲线形式如下

这里\(x\ge0.2S\)。此时，\(F\)的期望值为

\[ \bar{F}=\int_{0.2S}^{+\infty}x\mathcal{g}_F(x)\text{d}x=\int_{0.2S}^{+\infty}2xS^{-1}(x/S+0.8)^{-3}\text{d}x=1.2S \]

从\(F\)的期望值可以看出，这里的\(F\)是包含初损\(I_a=0.2S\)的，即

\[ \bar{Q}=P-\bar{F}=P-1.2S=P-(I_a+S)=P_e-S \]

另外，我们可以根据分布函数求出任意分位数对应的随机变量的取值，即通过\(\mathcal{G}_F(x)=0.5\)可以得到

\[ 1-(F_{0.5}/S+0.8)^{-2}=0.5 \]

那么，\(F\)的中位数为

\[ F_{0.5}=(\sqrt{2}-0.8)S\approx0.6142S \]